itciskra.ru
Чтобы решить эту задачу, давайте предположим, что сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом, то есть представленным в виде дроби. Пусть первое иррациональное число обозначается как a, а второе — как b. Тогда их сумма может быть записана как a + b = с, где с — рациональное число.
Однако, если мы возведем получившееся выражение в квадрат, то получим (a + b)^2 = с^2. Раскрыв скобки, получим a^2 + 2ab + b^2 = с^2. Заметим, что a^2 и b^2 — это числа, которые мы уже знаем как иррациональные. Также, предположение о том, что с — рациональное число, означает, что с^2 — также рациональное число.
Вычитая из обеих частей уравнения a^2 и b^2, получим 2ab = с^2 — (a^2 + b^2). Здесь, с^2 — (a^2 + b^2) — это разность двух рациональных чисел, и значит, она тоже является рациональным числом. Однако, если величина 2ab — рациональное число, то ab — также рациональное число.
Это противоречит нашему предположению о том, что a и b были иррациональными числами. Следовательно, наше предположение о том, что сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом, неверно. Значит, сумма двух иррациональных чисел — тоже иррациональное число.
Математическое доказательство: сумма иррациональных чисел — иррациональное число
Предположим, что у нас есть два иррациональных числа a и b. Мы хотим доказать, что сумма a + b также является иррациональным числом.
Давайте предположим обратное: пусть a + b = c, где c — рациональное число. Это означает, что существуют целые числа p и q, такие что c = p/q, а q не равно нулю.
Так как a и b являются иррациональными числами и их сумма равна c, мы можем записать a в виде a = c — b.
Подставляя это выражение в уравнение a + b = c, получим (c — b) + b = c, что эквивалентно c — b + b = c, и в конечном итоге c = c.
Это говорит нам о том, что рациональное число c равно самому себе, что является очевидным фактом.
Однако, согласно нашему предположению, число c представимо в виде p/q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю.
Таким образом, мы приходим к противоречию, и наше предположение о том, что сумма a + b является рациональным числом, неверно.
Следовательно, мы можем заключить, что сумма двух иррациональных чисел является иррациональным числом.
Доказательство теоремы о сумме иррациональных чисел
Иррациональным числом называется такое число, которое не может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q — целые числа и q ≠ 0.
Если a + b является рациональным числом, то мы можем представить его в виде дроби p/q, где p и q — целые числа и q ≠ 0.
Тогда мы можем записать уравнение:
a + b = p/q
Умножим обе части уравнения на q:
aq + bq = p
Обратим внимание, что числа a и b являются иррациональными, поэтому их произведение также является иррациональным числом.
Таким образом, мы получаем, что aq и bq являются иррациональными числами.
Но это противоречит предположению, что a + b является рациональным числом.
Итак, теорема доказана.
Понятие иррационального числа
Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечной десятичной дроби, которая не повторяется. Примерами иррациональных чисел являются √2 (квадратный корень из 2), π (пи), е (экспонента), и многие другие.
Иррациональные числа имеют непредсказуемую последовательность цифр после запятой и не могут быть точно выражены в виде конечной десятичной дроби или дробного числа. Они представляются с помощью символа «…» или некоторого обозначения, чтобы указать, что они являются бесконечными и не повторяющимися.
Иррациональные числа имеют множество интересных свойств и используются в различных математических и научных приложениях. Они играют важную роль в геометрии, физике, экономике и других областях науки.