Доказательство четности функции: 7cos4x 3x2

iconНа чтение2 мин
iconОпубликовано
iconОбновлено

Доказательство четности функции является одной из важнейших задач в математике. Четная функция — это функция, которая обладает свойством симметрии относительно оси Oy. Это означает, что значение функции в точке x равно значению функции в точке -x. Если функция удовлетворяет этому условию, то ее можно назвать четной.

Рассмотрим функцию 7cos4x=3x^2. Чтобы доказать, что эта функция является четной, необходимо проверить, выполняется ли свойство симметрии относительно оси Oy. Для этого нам потребуется некоторое математическое рассуждение и алгебраические преобразования.

Допустим, что у нас есть точка x, для которой значение функции равно f(x). Тогда, согласно определению четной функции, значение функции в точке -x должно быть равно f(-x). Нашей задачей является проверить, выполняется ли это равенство для нашей функции.

Доказательство четности функции

  1. Подставить в функцию значение аргумента, противоположное заданному значению.
  2. Вычислить значение функции при этом противоположном значении аргумента.
  3. Сравнить полученное значение с исходным значением функции.

Если полученные значения равны, то функция является четной.

Применяя эти шаги к уравнению 7cos4x=3x^2, получаем:

  • Подставляем в функцию значение аргумента, противоположное заданному: 7cos4(-x)=3(-x)^2.
  • Вычисляем значение функции: 7cos(-4x)=3x^2.
  • Сравниваем полученное значение с исходным: 7cos(4x)=3x^2.

Таким образом, функция 7cos4x=3x^2 является четной.

Формулировка задачи

Подход к доказательству

  1. Раскроем выражение 7cos4x = 3x^2 с помощью тригонометрических тождеств.
  2. Используем свойства четности и нечетности функции косинуса для упрощения полученного выражения.
  3. Сравним полученное уравнение с изначальным и убедимся, что они эквивалентны.

Таким образом, если мы успешно выполним эти шаги, то сможем доказать, что функция является четной.

Результат

  1. Функция должна быть симметричной относительно оси ординат. Для этого необходимо подставить вместо x значение -x и проверить, что полученное значение функции равно исходному.
  2. Функция должна быть четной при заданном интервале значений. Для этого необходимо проверить, что для любого значения x из заданного интервала выполнено равенство f(x) = f(-x).

В нашем случае у нас есть уравнение 7cos(4x) = 3x^2. Перепишем это уравнение в виде f(x) = 7cos(4x) — 3x^2 = 0.

Для проверки симметрии относительно оси ординат подставим вместо x значение -x:

f(-x) = 7cos(4(-x)) — 3(-x)^2

Упростим:

f(-x) = 7cos(-4x) — 3x^2

Используя тригонометрические свойства, получим:

f(-x) = 7cos(4x) — 3x^2

Таким образом, выполнено одно из условий симметрии.

Теперь проверим, что функция четная при заданном интервале значений.

Подставим вместо x и -x одно и то же значение и убедимся, что полученные значения равны:

f(x) = 7cos(4x) — 3x^2

f(-x) = 7cos(4x) — 3x^2

Таким образом, выполнено второе условие четности.

Добавить комментарий

Вам также может понравиться