Чему равна сумма и произведение двух сопряженных чисел?

Сумма сопряженных чисел вычисляется путем складывания соответствующих вещественной и мнимой частей. Если у нас есть два сопряженных числа a + bi и a — bi, то их сумма будет равна 2a. Это происходит потому, что мнимые части b и -b взаимно уничтожаются при сложении, оставляя только вещественную часть 2a. Это свойство можно использовать для упрощения выражений и нахождения суммы сопряженных чисел.

Произведение сопряженных чисел также обладает своими особенностями. Если у нас есть два сопряженных числа a + bi и a — bi, то их произведение будет равно a^2 + b^2. То есть, произведение сопряженных чисел равно квадрату вещественной части, плюс квадрату мнимой части. Это свойство полезно при вычислении произведений сопряженных чисел и может быть использовано для упрощения выражений и получения конечного результата.

Формулы и примеры вычислений для суммы и произведения сопряженных чисел

Сопряженными числами называются два числа, имеющих одинаковые действительные части и противоположные мнимые части. Для таких чисел существуют специальные формулы для вычисления их суммы и произведения.

Сумма сопряженных чисел:

Пусть заданы два сопряженных числа a + bi и a — bi. Тогда их сумма равна 2a.

Пример:

Даны два сопряженных числа 3 + 5i и 3 — 5i. Их сумма равна 2 * 3 = 6.

Произведение сопряженных чисел:

Пусть заданы два сопряженных числа a + bi и a — bi. Тогда их произведение равно a^2 — (bi)^2, то есть a^2 — (b^2)i^2.

Учитывая, что i^2 = -1, получаем формулу произведения сопряженных чисел: a^2 + b^2.

Пример:

Даны два сопряженных числа 2 + 3i и 2 — 3i. Их произведение равно 2^2 + 3^2 = 13.

Таким образом, для вычисления суммы сопряженных чисел необходимо удвоить действительную часть числа, а для вычисления произведения — сложить квадраты действительной и мнимой частей числа.

Что такое сопряженные числа?

Комплексные числа представляются в виде суммы действительной и мнимой частей: z = a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть, а i — мнимая единица, удовлетворяющая условию i² = -1.

Сопряженное числу z = a + bi обозначается как z* = a — bi. То есть, чтобы получить сопряженное число, необходимо заменить знак между действительной и мнимой частями на противоположный.

Свойства комплексно-сопряженных чисел:

1. Сумма сопряженных чисел: (a + bi) + (a — bi) = 2a.
2. Вычитание сопряженных чисел: (a + bi) — (a — bi) = 2bi.
3. Произведение сопряженных чисел: (a + bi) * (a — bi) = a² + b².
4. Деление сопряженных чисел: (a + bi) / (a — bi) = (a² + b²) / (a² + b²) + (2ab / (a² + b²)) * i = 1 + 0i.

Одно из применений сопряженных чисел — нахождение арифметических средних корней комплексных чисел, где арифметические средние сопряженных чисел равны действительным числам. Также, модуль комплексного числа равен модулю его сопряженного числа.

Как вычислить сумму сопряженных чисел?

Для вычисления суммы сопряженных чисел нужно сложить соответствующие вещественные и мнимые части.

Пусть у нас есть два сопряженных числа: z = a + bi и z’ = a — bi, где a и b – вещественные числа, а i – мнимая единица.

Сумма сопряженных чисел вычисляется следующим образом:

z + z’ = (a + bi) + (a — bi)

Применяя правила сложения комплексных чисел, мы получаем:

z + z’ = 2a

Таким образом, сумма сопряженных чисел равна удвоенной вещественной части и не содержит мнимой части.

Пример вычисления суммы сопряженных чисел:

Пусть даны два сопряженных числа z = 3 + 5i и z’ = 3 — 5i.

Сумма этих чисел будет:

z + z’ = (3 + 5i) + (3 — 5i) = 6

Таким образом, сумма сопряженных чисел z и z’ равна 6.

Примеры вычисления суммы сопряженных чисел

Чтобы вычислить сумму двух сопряженных чисел, достаточно сложить их вещественные и мнимые части.

Рассмотрим пример: даны два сопряженных числа a = 3 + 2i и b = 3 — 2i.

Сначала сложим вещественные части чисел: 3 + 3 = 6.

Затем сложим мнимые части чисел: 2i + (-2i) = 0.

Итак, сумма сопряженных чисел a и b равна 6.

Другой пример: даны два сопряженных числа a = 2 + 5i и b = 2 — 5i.

Сложим вещественные части чисел: 2 + 2 = 4.

Сложим мнимые части чисел: 5i + (-5i) = 0.

Сумма сопряженных чисел a и b равна 4.

В обоих примерах мы видим, что мнимая часть всегда равна нулю, поскольку сопряженные числа имеют противоположный знак вещественной части и одинаковую мнимую часть.

Как вычислить произведение сопряженных чисел?

(a + bi)(a — bi) = a^2 — abi + abi — (bi)^2 = a^2 — (bi)^2 = a^2 — b^2i^2

Так как i^2 равен -1, получаем:

a^2 — b^2i^2 = a^2 — b^2(-1) = a^2 + b^2

Таким образом, произведение комплексного числа и его сопряженного числа равно сумме квадратов действительной и мнимой части комплексного числа.

Рассмотрим пример вычисления произведения сопряженных чисел:

Дано комплексное число z = 3 + 2i. Найдем произведение числа z и его сопряженного числа:

z * z’ = (3 + 2i)(3 — 2i) = 3^2 — (2i)^2 = 9 — 4(-1) = 9 + 4 = 13

Таким образом, произведение числа z = 3 + 2i и его сопряженного числа равно 13.

Примеры вычисления произведения сопряженных чисел

1. Пусть у нас есть два сопряженных числа: z1 = 3 + 4i и z2 = 3 — 4i.

   Чтобы вычислить их произведение, мы умножаем модули чисел и меняем знак мнимой части у одного из них:

   Модуль числа z1: |z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5

   Модуль числа z2: |z2| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = 5

   Произведение сопряженных чисел: z1 * z2 = 5 * (3 + 4i) * (3 — 4i)

   Произведение: z1 * z2 = 5 * (9 — 12i + 12i — 16i^2) = 5 * (9 + 16) = 125

2. Рассмотрим другой пример с числами: w1 = 2 + 6i и w2 = 2 — 6i.

   Аналогично предыдущему примеру, вычисляем модули и произведение:

   Модуль числа w1: |w1| = sqrt(2^2 + 6^2) = 2sqrt(10)

   Модуль числа w2: |w2| = sqrt(2^2 + (-6)^2) = 2sqrt(10)

   Произведение сопряженных чисел: w1 * w2 = 2sqrt(10) * (2 + 6i) * (2 — 6i)

   Произведение: w1 * w2 = 2sqrt(10) * (4 — 36i^2) = 2sqrt(10) * (4 + 36) = 80sqrt(10)

Таким образом, вычисление произведения сопряженных чисел сводится к вычислению модулей и изменению знака мнимой части. Это простая и полезная операция, которая применяется во многих областях математики.

Свойства суммы сопряженных чисел

Одним из свойств сопряженных чисел является то, что сумма комплексного числа и его комплексно-сопряженного числа является действительным числом. То есть, если z = a + bi, то z + z* = (a + bi) + (a — bi) = 2a.

Следовательно, сумма сопряженных чисел всегда равна удвоенной действительной части комплексного числа.

Например, если дано комплексное число z = 3 + 4i, то его комплексно-сопряженное число z* = 3 — 4i. Сумма чисел z + z* = (3 + 4i) + (3 — 4i) = 6, что является действительным числом.

Таким образом, свойство суммы сопряженных чисел позволяет упростить вычисления и использовать комплексные числа в различных математических и физических задачах.

Свойства произведения сопряженных чисел

Произведение двух сопряженных чисел имеет следующие свойства:

1. Произведение сопряженных чисел является действительным числом:

Если число a + bi является сопряженным к числу a — bi, то их произведение (a + bi)(a — bi) будет являться действительным числом.

2. Произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля этих чисел:

Если число a + bi является сопряженным к числу a — bi, то их произведение будет равно квадрату модуля этих чисел, то есть (a + bi)(a — bi) = a^2 + b^2.

Эти свойства произведения сопряженных чисел позволяют нам легко находить произведение их без явного умножения.