Неопределенный интеграл от суммы двух функций

Формула для вычисления неопределенного интеграла от суммы двух функций имеет вид:

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx,

где f(x) и g(x) — функции, для которых необходимо найти неопределенный интеграл.

Для вычисления неопределенного интеграла от суммы двух функций нужно вычислить неопределенный интеграл каждой функции по отдельности, а затем сложить их результаты.

Рассмотрим пример вычисления неопределенного интеграла от суммы двух функций. Пусть f(x) = x^2 + 3x, а g(x) = 2x — 1. Найдем неопределенный интеграл от f(x) + g(x).

Что такое неопределенный интеграл?

Неопределенный интеграл обозначается символом ∫ и записывается как ∫f(x)dx, где f(x) – интегрируемая функция, а dx – дифференциал переменной x.

Для вычисления неопределенного интеграла используется процесс интегрирования, который состоит в нахождении функции F(x), такой что F'(x) = f(x). Таким образом, если f(x) является исходной функцией, то F(x) является ее первообразной или антипроизводной.

Неопределенный интеграл может быть использован для решения различных задач, включая нахождение площади под кривой, определение работы, вычисление стоимости товара и многое другое.

Пример вычисления неопределенного интеграла:

В каждом примере первообразная F(x) была найдена путем интегрирования исходной функции f(x).

Важно отметить, что неопределенный интеграл имеет неопределенность в виде постоянной интегрирования C, которая может быть добавлена к первообразной функции. Это связано с тем, что производная постоянной равна нулю, и поэтому любая константа может быть добавлена к первообразной функции без изменения ее производной.

Определение и основные свойства

\[\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx\]

Основные свойства неопределенного интеграла от суммы двух функций:

• Линейность: \(\int (cf(x)) \, dx = c \int f(x) \, dx\), где \(c\) — константа.
• Коммутативность: \(\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int (g(x)+f(x)) \, dx\).
• Ассоциативность: \(\int (f(x)+(g(x)+h(x))) \, dx = \int ((f(x)+g(x))+h(x)) \, dx\).

Эти свойства позволяют упростить вычисление неопределенных интегралов от сложных функций, разбивая их на более простые.

Как вычислить интеграл от суммы двух функций?

Формула для вычисления интеграла от суммы двух функций выглядит следующим образом:

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Для решения задачи по вычислению интеграла от суммы двух функций необходимо разделить интеграл на две части и вычислить каждую из них отдельно. Сначала интегрируем первую функцию, затем вторую, а затем складываем результаты.

Давайте рассмотрим пример вычисления интеграла от суммы двух функций:

Вычислим интеграл от суммы функций f(x) = 2x + 3 и g(x) = x^2:

∫(2x + 3 + x^2) dx = ∫2x dx + ∫3 dx + ∫x^2 dx

Интегрируем первую функцию:

∫2x dx = x^2 + C1

Интегрируем вторую функцию:

∫3 dx = 3x + C2

∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C3

Теперь объединяем результаты:

∫(2x + 3 + x^2) dx = x^2 + 3x + (1/3)x^3 + C

Где C1, C2, C3 и C — произвольные постоянные.

Таким образом, мы вычислили интеграл от суммы двух функций.

Аналогичным образом можно вычислять интегралы от суммы большего числа функций, разделяя интеграл на соответствующее число частей и вычисляя их по очереди.

Формула для вычисления интеграла от суммы двух функций

Неопределенный интеграл от суммы двух функций может быть вычислен по формуле:

     ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

где ∫ обозначает интеграл, f(x) и g(x) — две функции переменной x.

Данная формула позволяет упростить вычисление неопределенных интегралов от сложных функций, разбивая их на составляющие и интегрируя каждую часть отдельно.

Рассмотрим пример вычисления интеграла от суммы двух функций:

В данном примере мы разбили интеграл от суммы двух функций на два отдельных интеграла, которые затем были проинтегрированы по отдельности. После интегрирования каждой части, мы получили результат в виде алгебраической суммы этих интегралов с постоянной C, которую обычно обозначают как произвольную константу.

Пример 1: Вычисление неопределенного интеграла от суммы двух функций

Рассмотрим пример вычисления неопределенного интеграла от суммы двух функций. Пусть даны функции f(x) = x^2 и g(x) = 3x. Необходимо вычислить интеграл от (f(x) + g(x))dx.

Для начала, по свойству линейности интеграла, мы можем разделить сумму на два интеграла: интеграл от f(x)dx и интеграл от g(x)dx.

Интеграл от f(x)dx равен (1/3)x^3 + C1, где C1 — произвольная константа.

Интеграл от g(x)dx равен (3/2)x^2 + C2, где C2 — произвольная константа.

Тогда интеграл от (f(x) + g(x))dx равен сумме интегралов от f(x) и g(x), то есть ((1/3)x^3 + C1) + ((3/2)x^2 + C2), что можно упростить до (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + (C1 + C2), где C1 и C2 — произвольные константы.

Таким образом, неопределенный интеграл от (f(x) + g(x))dx равен (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + C, где C — произвольная константа.

Приведенная формула для вычисления неопределенного интеграла от суммы двух функций позволяет нам эффективно находить интегралы от сложных выражений, разбивая их на более простые компоненты и используя свойство линейности интеграла.

Пример 2: Вычисление неопределенного интеграла от суммы двух функций

Представим, что нам необходимо вычислить неопределенный интеграл от суммы двух функций: f(x) = 2x + 3 и g(x) = x^2 + 4x.

Прежде чем приступить к вычислениям, мы должны знать основные правила дифференцирования и интегрирования функций. В данном случае мы будем использовать следующее правило:

Если F(x) и G(x) — первообразные функций f(x) и g(x) соответственно, то первообразная функции f(x) + g(x) равна F(x) + G(x) + C, где C — произвольная постоянная.

Теперь мы можем приступить к решению второго примера. По данному правилу, для данного случая первообразная от f(x) = 2x + 3 будет равна:

F(x) = x^2 + 3x + C₁

А первообразная от g(x) = x^2 + 4x будет равна:

G(x) = (1/3)x^3 + 2x^2 + C₂

Следовательно, первообразная от суммы двух функций f(x) и g(x) равна:

F(x) + G(x) + C = (1/3)x^3 + x^2 + 3x + C₁ + C₂ + C

где C — произвольная постоянная. Таким образом, мы получили выражение для неопределенного интеграла от суммы двух функций f(x) и g(x).

Пример 3: Вычисление неопределенного интеграла от суммы двух функций

Для начала, воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла и разобьем задачу на две отдельные интеграции:

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Первым интегралом будет ∫f(x) dx:

∫f(x) dx = ∫(x^2 + 3x + 2) dx

Для решения этого интеграла мы используем степенное правило:

∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

Применяя это правило для каждого слагаемого, получаем:

∫(x^2 + 3x + 2) dx = (x^(2+1))/(2+1) + (3x^(1+1))/(1+1) + 2x + C

Упрощая выражение, получаем:

∫(x^2 + 3x + 2) dx = (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + C

Итак, первым интегралом будет (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + C, где C — произвольная константа.

Теперь рассмотрим второй интеграл ∫g(x) dx:

∫g(x) dx = ∫(2x — 1) dx

Сработает линейное правило:

∫(cx) dx = (c/2)(x^2) + C

Применяем это правило, и получаем:

∫(2x — 1) dx = (2/2)(x^2) — (1/1)x + C

Упрощая, получаем:

∫(2x — 1) dx = x^2 — x + C

Таким образом, вторым интегралом будет x^2 — x + C, где C — произвольная константа.

Итак, итоговым решением задачи будет:

∫(f(x) + g(x)) dx = (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + (x^2 — x + C) = (x^3)/3 + (5x^2)/2 + x + C

Где C — произвольная константа, которая появилась при обоих интеграциях.