itciskra.ru
КНФ и ДНФ – это два основных способа представления логических выражений в форме, более удобной для анализа и преобразования. КНФ представляет выражение в виде конъюнкции (логического «и») элементарных логических высказываний или их отрицаний, называемых литералами. ДНФ же представляет выражение в виде дизъюнкции (логического «или») таких элементарных высказываний.
Принципы построения КНФ и ДНФ следующие: сначала нужно разбить исходное выражение на отдельные логические слагаемые (конъюнкции) или сомножители (дизъюмкции), а затем каждое слагаемое или сомножитель дальше разбивается на литералы. Литералом может быть как само логическое высказывание, так и его отрицание.
Пример:
Исходное выражение: (А и B) или (C и не D)
КНФ: (А или C) и (А или не D) и (B или C) и (B или не D)
ДНФ: (А и B и C) или (А и B и не D) или (C и B и C) или (C и B и не D)
Понятие и основные принципы
КНФ представляет собой конъюнкцию литералов, причем каждый литерал может быть переменной или ее отрицанием. Каждая конъюнкция называется дизъюнктом, а совокупность дизъюнктов образует КНФ. ДНФ, напротив, представляет собой дизъюнкцию литералов, причем каждый литерал может быть переменной или ее отрицанием. Каждая дизъюнкция называется конъюнктом, а совокупность конъюнктов образует ДНФ.
Для построения КНФ необходимо выполнить два основных принципа. Первым принципом является разложение булевой функции на элементарные конъюнкции (конъюнкторы), содержащие по одной переменной или ее отрицание. Затем эти конъюнкции объединяются вместе с использованием логической операции «ИЛИ». Вторым принципом является учет всех значений функции при построении КНФ. То есть нужно составить конъюнкцию для каждой строки таблицы истинности функции, в которой значение функции равно 1.
Для построения ДНФ также используются два основных принципа. Первым принципом является разложение булевой функции на элементарные дизъюнкции (дизъюнкторы), содержащие по одной переменной или ее отрицание. Затем эти дизъюнкции объединяются вместе с использованием логической операции «И». Вторым принципом является учет всех значений функции при построении ДНФ. То есть нужно составить дизъюнкцию для каждой строки таблицы истинности функции, в которой значение функции равно 0.
Построение КНФ и ДНФ позволяет удобно анализировать и упрощать булевы функции, использовать их в различных задачах логического программирования, а также улучшать производительность вычислений.
Что такое КНФ и ДНФ?
КНФ — это дизъюнкция конъюнкций, содержащая переменные и их отрицания. Конъюнкция — это логическое «и», а дизъюнкция — логическое «или». КНФ имеет вид:
- Конъюнкция литералов (переменных и их отрицаний).
- Конъюнкция литералов, где каждая литера покрыта отрицанием и соединена дизъюнкцией.
- Дизъюнкция конъюнкций.
ДНФ — это конъюнкция дизъюнкций, содержащая переменные и их отрицания. ДНФ имеет вид:
- Дизъюнкция литералов (переменных и их отрицаний).
- Дизъюнкция литералов, где каждая литера покрыта отрицанием и соединена конъюнкцией.
- Конъюнкция дизъюнкций.
КНФ и ДНФ являются каноническими формами записи логических выражений и позволяют однозначно представить их с помощью конъюнкций и дизъюнкций. Они используются в логике, алгоритмах и электронике для анализа и синтеза логических схем и вычислений.
Построение КНФ
Построение КНФ осуществляется в несколько этапов:
- Приведение логического выражения к отрицанию некоторой базовой формулы. Это выполняется с помощью аксиоматических правил преобразования.
- Приведение логической формулы к такому виду, чтобы она состояла только из конъюнкций (логического «И») и дизъюнкций (логического «ИЛИ»).
- Преобразование каждой дизъюнкции в конъюнкцию максимального числа конъюнкций, включающих все литералы.
Пример построения КНФ:
| Логическое выражение | Отрицание базовой формулы | КНФ |
|---|---|---|
| p → q | p ∧ ¬q | (p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) |
| p ∨ ¬q ∨ ¬r | ¬(p ∨ ¬q ∨ ¬r) | (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) |
Таким образом, построение КНФ позволяет представить логическое выражение в виде конъюнкции литералов и их отрицаний. Это удобно для дальнейшего анализа и преобразования формул в различных логических задачах.
Шаг 1: Таблица истинности
Таблица истинности представляет собой способ систематизации всех возможных значений истинности для заданной логической функции. Каждая переменная в функции может принимать значение истины (1) или ложь (0). Все возможные комбинации значений переменных перечисляются в таблице истинности.
Например, для функции A ∧ B, где A и B — переменные, таблица истинности будет выглядеть следующим образом:
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
В данной таблице значения переменных A и B перечислены в первых двух столбцах, а результат логической операции «A ∧ B» — в третьем столбце. Каждая строка представляет собой комбинацию значений переменных и соответствующий ей результат.
Построение таблицы истинности позволяет легко определить, при каких комбинациях значений переменных заданная логическая функция принимает значение истины или ложи.
Построение ДНФ
- Определите переменные функции и их значения для заданных комбинаций.
- Выразите логическую функцию в виде суммы произведений, где каждое произведение представляет отдельную комбинацию.
- Сгруппируйте комбинации в дизъюнкции, где каждая дизъюнкция соответствует одной комбинации.
Каждый шаг происходит при помощи логических операций И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция) и НЕ (отрицание). Для упрощения построения ДНФ можно использовать таблицы истинности и логические диаграммы.
Пример: рассмотрим функцию F(x, y, z) = (x + y)z. Для каждой комбинации аргументов получим следующую таблицу истинности:
| x | y | z | F(x, y, z) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Получаем ДНФ: F(x, y, z) = x’yz’ + x’yz + xyz + xyz’.
Шаг 1: Таблица истинности
Таблица истинности представляет собой способ систематического перебора всех возможных значений логических переменных, с целью определить истинность заданного логического выражения.
Для построения таблицы истинности:
1. Определите количество логических переменных. Количество переменных будет определять количество столбцов в таблице истинности.
2. Расставьте все возможные комбинации значений переменных. Если у вас есть n переменных, то общее количество комбинаций будет 2^n. Запишите эти комбинации в столбцах таблицы.
3. Запишите значения истинности для заданного логического выражения. Вычислите значение выражения для каждой комбинации значений переменных и запишите их в последний столбец таблицы.
4. Итоговая таблица истинности будет иметь n+1 столбцов. Первые n столбцов – это значения переменных, а последний – значения истинности.
Создание таблицы истинности поможет вам лучше понять логику работы выражения и определить его КНФ и ДНФ.