Как найти производную арктангенса

Для начала, давайте вспомним определение производной. Производная функции в точке – это скорость изменения этой функции в данной точке. Чтобы найти производную арктангенса, мы воспользуемся правилом дифференцирования функции, произведенной из сложной функции. В нашем случае, мы будем дифференцировать арктангенс относительно некоторой переменной.

Для этого мы воспользуемся цепным правилом, комбинируя производные и сложные функции. Мы начнем с дифференцирования арктангенса как функции одной переменной и затем продвинемся дальше, включая более сложные случаи.

Как найти производную арктангенса

Формула для арктангенса имеет следующий вид:

arctan(x)

Чтобы найти производную функции арктангенса, используем известные правила дифференцирования. В данном случае мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции:

d(u(v)) = u'(v) * v’

Разберемся, как применить это правило для функции арктангенса.

У нас есть функция арктангенса:

u = arctan(v)

Пусть v = x, тогда имеем:

u = arctan(x)

Производная функции v = x по переменной x будет равна 1.

Таким образом, мы можем записать:

u’ = 1

Находим производную переменной v по переменной x, получив:

v’ = 1

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

d(u(v)) = u'(v) * v’ = 1 * 1 = 1

Таким образом, производная функции арктангенса равна 1.

Итак, мы выяснили, что производная арктангенса равна 1. Это означает, что скорость изменения арктангенса в каждой его точке будет равна 1.

Подробное объяснение

Пусть дана функция $y\; =\; \backslash arctan(x)$. Чтобы найти производную этой функции, мы можем воспользоваться формулой:

Таким образом, производная арктангенса равна $\backslash frac\{1\}\{1\; +\; x^2\}$.

Это правило может быть использовано для нахождения производной арктангенса в любой точке. Производная показывает скорость изменения функции в данной точке и может быть использована в различных математических и физических задачах.

Шаг 1: Запись формулы арктангенса

(arctg(x))’ = 1 / (1 + x^2)

Здесь символ ‘ означает производную функции по переменной.

Таким образом, для нахождения производной арктангенса достаточно знать эту простую формулу.

Шаг 2: Применение правила дифференцирования сложной функции

После того, как мы произвели замену переменной и получили выражение вида y = atan(u), где u = x^2 + 1, мы можем применить правило дифференцирования сложной функции для нахождения производной арктангенса функции y по переменной x.

Правило дифференцирования сложной функции утверждает, что если у нас есть функция y = f(g(x)), то ее производная по переменной x выражается следующим образом:

Применим это правило к нашей функции y = atan(u). Заметим, что функция f(z) = atan(z), а функция g(x) = x^2 + 1. Таким образом, производная нашей функции y по переменной x будет выглядеть следующим образом:

y’ = atan'(u) * (x^2 + 1)’

Получившиеся производные atan'(u) и (x^2 + 1)’ мы можем найти по отдельности, используя известные правила дифференцирования. После того, как мы найдем эти производные, мы сможем выразить производную арктангенса функции y по переменной x.

Шаг 3: Упрощение дифференциала

После применения правила дифференцирования композиции функций на предыдущем шаге, мы получили дифференциал вида:

d(atan(x)) = (1 / (1 + x^2)) * dx

В данном случае, у нас имеется константный множитель, который можно вынести за пределы дифференциала:

d(atan(x)) = (1 / (1 + x^2)) * dx

*(1 / (1 + x^2))

приведем упрощенные дифференциальные формы:

dx / dx = 1

(1 / (1 + x^2)) * (1 / (1 + x^2)) = 1 / (1 + x^2)^2

Таким образом, после упрощения, мы получаем окончательный результат:

d(atan(x)) = 1 / (1 + x^2)^2

Шаг 4: Получение конечного результата

Теперь, когда мы получили все необходимые производные функций и упростили выражение для производной арктангенса, мы можем выразить ее в более простом виде.

Используем формулу производной композиции функций:

Применяя формулу, получим:

f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = 1 / (1 + x^2) * 1 = 1 / (1 + x^2)

Таким образом, мы получили производную арктангенса относительно x: f'(x) = 1 / (1 + x^2).

Теперь мы знаем, как найти производную арктангенса и можем применять этот результат в различных задачах и вычислениях.