Доказательство сходимости предела последовательности

Рассмотрим последовательность a_n = a, где a — некоторое фиксированное число. Наша задача состоит в доказательстве, что предел этой последовательности равен a.

Для доказательства этого факта воспользуемся определением предела последовательности: для любого положительного числа ε существует такое натуральное число N, что для всех n больше N выполняется неравенство |a_n — a| < ε.

Доказательство существования предела

Для доказательства существования предела последовательности a_n = a необходимо показать, что для любого положительного числа ε существует номер элемента N, начиная с которого все члены последовательности a_n находятся на расстоянии меньше ε от предельного значения a.

То есть, для любого ε > 0 найдется такое число N, что для всех n ≥ N выполняется |a_n — a| < ε.

Для доказательства этого факта можно использовать определение предела последовательности и свойства неравенств.

Пусть ε > 0 произвольно. Рассмотрим неравенство |a_n — a| < ε. Так как a_n = a, неравенство можно переписать как |a — a| < ε.

Так как любое число минус само себя равно нулю, мы получаем неравенство 0 < ε, которое всегда верно при положительном ε.

Таким образом, выбрав N = 1, мы можем утверждать, что для всех n ≥ N выполняется |a_n — a| < ε.

Это означает, что в определенном смысле все члены последовательности a_n находятся на расстоянии меньше ε от предельного значения a.

Таким образом, доказано существование предела последовательности a_n = a.

Монотонность последовательности

Существуют два типа монотонности: возрастающая и убывающая.

Последовательность a_n = a_n+1 является возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего:

a_n < a_n+1 для всех натуральных n.

Аналогично, последовательность a_n = a_n+1 является убывающей, если каждый следующий элемент меньше предыдущего:

a_n > a_n+1 для всех натуральных n.

Однако не все последовательности обладают монотонностью. Некоторые могут быть неупорядоченными или содержать подпоследовательности, которые не обладают этим свойством. В таких случаях другие методы, такие как применение формул или использование других свойств последовательности, могут использоваться для доказательства предела.

Ограниченность последовательности

Существует несколько способов доказательства ограниченности последовательности:

1. Метод сжатой последовательности: если существуют две другие последовательности b_n и c_n, такие что для всех n, b_n ≤ a_n ≤ c_n, и обе эти последовательности имеют пределы, тогда a_n также будет иметь предел. Кроме того, если b_n сходится к некоторому числу L, а c_n сходится к некоторому числу M, и L = M, то a_n также сходится к числу L (= M).
2. Метод перехода к подпоследовательности: если существует подпоследовательность d_n последовательности a_n, которая ограничена, то и сама последовательность a_n будет ограничена.
3. Метод доказательства ограниченности непосредственно: если существует число M, такое что для всех n, |a_n| ≤ M, то последовательность a_n ограничена.