itciskra.ru
Для доказательства этой теоремы нам понадобится понятие середины отрезка. Серединой отрезка AB называется точка M, которая находится на равном удалении от точек A и B, то есть AM=MB. Используя это определение, мы можем сформулировать нашу теорему: середины оснований трапеции делят отрезок, соединяющий их, пополам.
Для начала, рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD — основания, а AD и BC – боковые стороны. Пусть M и N – середины отрезков AB и CD соответственно. Нам нужно доказать, что MN делит отрезок AD пополам.
Доказательство:
1. Проведем диагонали AC и BD. Получим два треугольника AMC и BMD. Так как M и N – середины отрезков AB и CD, то AM=MB и CN=ND (по определению середины отрезка).
2. Рассмотрим треугольники AMC и BMD. Они имеют две общие стороны, AM=MB и MC=MD, а также имеют равные углы ACM и BDM (они равны, так как они вертикальные углы).
3. Исходя из пункта 2, по теореме о равных треугольниках (вторая теорема о равных треугольниках) треугольники AMC и BMD равны между собой.
4. Теперь рассмотрим отрезок AD. Поскольку треугольники AMC и BMD равны, то их высоты (отрезки MN и CD) также равны.
5. Отсюда следует, что MN делит отрезок AD пополам (по определению середины отрезка). Теорема доказана.
Таким образом, мы доказали, что середины оснований трапеции делят отрезок, соединяющий их, пополам. Это важное свойство поможет вам решать разнообразные задачи с использованием трапеций и облегчит вам понимание геометрии в целом.
Раздел 1: Основные понятия и определения
Для того чтобы понять доказательство того факта, что середины оснований трапеции делят отрезок, необходимо ознакомиться с некоторыми основными понятиями и определениями по данной теме.
- Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.
- Основания трапеции — это пара параллельных сторон.
- Середина отрезка — это точка, которая делит данный отрезок пополам.
Для доказательства факта о том, что середины оснований трапеции делят отрезок, воспользуемся свойством медианы треугольника. Медиана треугольника, проходящая через вершину, делит противоположную сторону пополам.
Таким образом, для любой трапеции можно утверждать, что середины оснований делят их общую боковую сторону пополам. Это свойство можно легко доказать по определению медианы.
Средняя линия трапеции
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD. Обозначим середины этих оснований как M и N соответственно.
Для доказательства того, что средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований, проведем диагонали AC и BD.
Так как диагонали треугольника ABC делятся точками пересечения на три равные части, то точка пересечения диагоналей трапеции делит их на две равные части. Пусть эта точка обозначается как O.
Проведем отрезки OM и ON.
Треугольники OMB и OND являются прямоугольными, так как углы BOM и DON — прямые. Поэтому, использовав теорему Пифагора, получим:
OM = sqrt(OB^2 — BM^2) и ON = sqrt(OD^2 — DN^2)
Так как BM = DN (это середины оснований), то получаем:
OM = sqrt(OB^2 — BM^2) и ON = sqrt(OD^2 — BM^2)
Суммируем полученные равенства:
OM + ON = sqrt(OB^2 — BM^2) + sqrt(OD^2 — BM^2)
Так как OB = OD (это равные основания), то получаем:
OM + ON = sqrt(OB^2 — BM^2) + sqrt(OB^2 — BM^2)
OM + ON = 2*sqrt(OB^2 — BM^2)
Так как OB = BM + AM и OB = DN + ON, то получаем:
OM + ON = 2*sqrt((BM + AM)^2 — BM^2) = sqrt((BM + AM)^2 — BM^2) + sqrt((DN + ON)^2 — DN^2)
Сокращая выражения, получим:
OM + ON = sqrt(AM^2 + 2*BM*AM) + sqrt(DN^2 + 2*DN*ON)
Средняя линия трапеции — это отрезок MN. По определению, MN = OM + ON. Подставим в это равенство выражение для OM + ON:
MN = sqrt(AM^2 + 2*BM*AM) + sqrt(DN^2 + 2*DN*ON)
Так как BM = DN, то получаем:
MN = sqrt(AM^2 + 2*BM*AM) + sqrt(DN^2 + 2*BM*ON)
Сократим выражение:
MN = sqrt(AM^2 + 2*BM*AM) + sqrt(DN^2 + 2*BM*ON) = sqrt(AM^2 + 2*BM*AM) + sqrt(AM^2 + 2*BM*ON)
Пользуясь тем, что AM = CN и BM = DN, можно переписать равенство следующим образом:
MN = sqrt(CN^2 + 2*BM*CN) + sqrt(BM^2 + 2*CN*BM)
Так как CN = BM, то:
MN = sqrt(BM^2 + 2*BM*CN) + sqrt(BM^2 + 2*CN*BM)
MN = sqrt(BM^2 + 2*BM^2) + sqrt(BM^2 + 2*BM^2)
MN = sqrt(3*BM^2) + sqrt(3*BM^2) = 2*sqrt(3*BM^2)
Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований и равна 2/3 относительно расстояния между основаниями.
Деление отрезка на две равные части
Существует несколько способов выполнения этого построения, но один из наиболее простых – использование циркуля и линейки.
Чтобы разделить отрезок на равные части, следуйте следующим шагам:
- Постройте отрезок с данными концами.
- Выберите произвольную точку на данном отрезке и назовите ее точкой А.
- На циркуле укажите радиус, равный расстоянию от точки А до одного из концов отрезка, и нарисуйте дугу, пересекающую отрезок в двух местах. Обозначьте пересечения точками В и С.
- Используя линейку, соедините точки В и С. Таким образом, получим середину отрезка и разделим его на две равные части.
Такой метод деления отрезка на две равные части можно использовать при решении разнообразных задач, связанных с геометрией и конструированием.
Зная этот метод, можно более эффективно строить различные фигуры, разрешать задачи, требующие деления отрезка на равные части и решать другие задачи, связанные с делимостью отрезков.
Раздел 2: Доказательство теоремы
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники ABC и BCD. Поскольку AM = MB и DN = NC (по определению середины отрезка), у этих треугольников равны соответственные стороны.
2. Так как треугольники ABC и BCD имеют равные стороны AB и BC, а у них также равны соответственные углы (углы при основаниях), то эти треугольники равны по третьей стороне (по теореме о равенстве треугольников).
3. Из равенства треугольников ABC и BCD следует, что у них также равны углы CAB и CDB, так как углы при равных сторонах равны.
4. Отметим точку P — пересечение прямых AM и DN. Так как углы CAB и CDB равны, а внешний угол при вершине P равен сумме внутренних углов CAB и CDB, то углы APN и CPD также равны (по альтернативному углу).
5. Поскольку углы APN и CPD равны, прямые AN и DP также параллельны (по критерию параллельности углов). Таким образом, получаем, что MN