Докажите, что функция y x2 4x на промежутке

Функция f(x) называется возрастающей на интервале, если при увеличении x значения функции также увеличиваются. Для доказательства возрастания функции на заданном интервале мы можем использовать производную функции.

Для функции y = x^2 — 4x мы можем вычислить производную f'(x). При этом мы предполагаем, что x принадлежит заданному интервалу. Если производная больше нуля на данном интервале, то функция возрастает.

Вычислим производную функции y = x^2 — 4x:

f'(x) = 2x — 4

Теперь найдем значения x, для которых производная больше нуля:

2x — 4 > 0

2x > 4

x > 2

Таким образом, при x > 2 производная функции положительна, что означает, что функция y = x^2 — 4x возрастает на данном интервале.

Интервал на котором функция возрастает

Производная функции y = x^2 — 4x равна y’ = 2x — 4.

Чтобы найти интервалы возрастания, решим неравенство 2x — 4 > 0. Найдем корни уравнения:

2x — 4 = 0

2x = 4

x = 2

Итак, получили один корень x = 2. Это значит, что функция возрастает на интервале (2; +∞).

Таким образом, на интервале (2; +∞) функция y = x^2 — 4x возрастает.

Доказательство, что функция является возрастающей на заданном интервале

Производная функции y = x^2 — 4x равна:

y’ = 2x — 4

Чтобы найти критические точки функции, где производная равна нулю или не существует, решим уравнение:

2x — 4 = 0

Производная равна нулю при x = 2. Подставим этот значок второой производной и найдем ее значение:

y» = 2

Полученное значение производной второго порядка положительное, следовательно, у точки x = 2 является минимумом.

Формула функции и ее основные характеристики

Функция имеет основные характеристики, которые помогают определить ее поведение на заданном интервале. В данном случае, функция является параболой, у которой вершина направлена вверх. Это можно выяснить, вычислив значение дискриминанта.

Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты при x^2, x и свободном члене соответственно. В данной функции a = 1, b = -4 и c = 0. Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем D = (-4)^2 — 4*1*0 = 16. Так как D > 0, то у функции есть два корня.

Определим положение вершины параболы с помощью формулы x = -b/(2a) и y = -D/(4a). Подставив значения a = 1 и b = -4, получаем x = 4/(2*1) = 2. Затем, подставим x = 2 в исходную функцию и вычислим y: y = 2^2 — 4*2 = 4 — 8 = -4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -4).

Производная и ее связь с возрастанием функции

Проверим, что производная y’ положительна на заданном интервале. Определение производной функции f(x) выглядит следующим образом:

y’ = lim(h->0) [f(x + h) — f(x)] / h

Для нашей функции, применив это определение, получим:

y’ = lim(h->0) [(x + h)^2 — 4(x + h) — (x^2 — 4x)] / h

Упростим это выражение:

y’ = lim(h->0) [x^2 + 2xh + h^2 — 4x — 4h — x^2 + 4x] / h

y’ = lim(h->0) [2xh + h^2 — 4h] / h

y’ = lim(h->0) [(2x + h — 4)]

Это выражение показывает, что производная y’ равна 2x — 4.

Чтобы узнать, когда производная положительна, нам нужно решить неравенство 2x — 4 > 0:

2x — 4 > 0

2x > 4

x > 2

Таким образом, производная y’ положительна при x > 2. Это означает, что функция y = x^2 — 4x возрастает на интервале, начиная с x = 2.

Позитивность производной и изменение знака

Производная данной функции равна y’ = 2x — 4. Чтобы установить позитивность производной, нужно проверить, когда производная больше нуля.

Решим неравенство 2x — 4 > 0:

2x > 4

x > 2

Таким образом, производная функции y’ = 2x — 4 положительна на интервале (2, +∞).

Далее, для проверки изменения знака производной, найдем точку, в которой производная равна нулю. Решим уравнение 2x — 4 = 0:

2x = 4

x = 2

Это говорит нам о том, что в точке x = 2 функция достигает своего минимума, и производная меняет свой знак.

Таким образом, функция y = x^2 — 4x возрастает на интервале (2, +∞), так как ее производная положительна на этом интервале и имеет изменение знака в точке x = 2.

Подтверждение возрастания с помощью производной

Для начала, возьмем производную функции y = x^2 — 4x по переменной x. Производная данной функции равна:

y’ = 2x — 4

Затем, для доказательства возрастания функции, необходимо проверить знак производной на заданном интервале.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

2x — 4 = 0

2x = 4

x = 2

Теперь проверим знак производной вне найденной точки с помощью тестовых точек. Например, возьмем любую точку справа от x = 2, например x = 3:

y’ = 2(3) — 4 = 2

Таким образом, для x > 2 производная положительна.

Теперь возьмем любую точку слева от x = 2, например x = 1:

y’ = 2(1) — 4 = -2

Таким образом, для x < 2 производная отрицательна.

Исходя из знаков производной на заданном интервале, можно заключить, что функция y = x^2 — 4x возрастает на данном интервале.

Графическое представление и наглядность доказательства

Для начала, нарисуем график функции y = x^2 — 4x. Для этого выберем несколько значений x на заданном интервале и подставим их в функцию, чтобы получить соответствующие значения y.

Например, если выбрать значения x = -2, x = 0 и x = 2, то соответствующие значения y будут следующими:

• При x = -2, y = (-2)^2 — 4(-2) = 4 + 8 = 12
• При x = 0, y = 0^2 — 4(0) = 0
• При x = 2, y = 2^2 — 4(2) = 4 — 8 = -4

Теперь построим график с помощью полученных значений. Возьмем систему координат, на которой оси отображают значения x и y. Построим точки с координатами (-2, 12), (0, 0) и (2, -4) и проведем график через них.

График функции y = x^2 — 4x будет представлять собой параболу, открытую вверх. По графику видно, что при увеличении значения x, соответствующие значения y также увеличиваются. Таким образом, функция y = x^2 — 4x возрастает на заданном интервале.

Графическое представление функции позволяет наглядно увидеть изменение значений функции, а также предоставляет дополнительное подтверждение доказательству возрастания функции.