Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность?

Доверительный интервал строится на основе выборочных данных и определенного уровня значимости. Уровень значимости обычно выбирается заранее и может быть, например, 0.05 (5%) или 0.01 (1%). Чем ниже уровень значимости, тем уже будет доверительный интервал, но и меньше будет вероятность, что истинное значение параметра попадет в этот интервал.

Для построения доверительного интервала необходимо знать выборочное среднее и стандартное отклонение. Если известно только среднее значение и размер выборки, то можно использовать t-распределение, которое учитывает большую неопределенность относительно неизвестного значения стандартного отклонения.

Примером может быть оценка среднего веса новорожденных детей. Представим, что в выборке из 100 детей средний вес оказался равным 3.2 кг, а стандартное отклонение составило 0.5 кг. При уровне значимости 0.05 и использовании t-распределения, можно построить доверительный интервал, например, от 2.9 до 3.5 кг. Это означает, что с вероятностью 95% истинное значение среднего веса находится в этом диапазоне.

Что такое доверительный интервал?

Уровень доверия – это вероятность того, что истинное значение параметра популяции будет содержаться в построенном доверительном интервале. Обычно уровень доверия выбирается заранее и выражается в процентах. Например, уровень доверия 95% означает, что среди множества всех возможных выборок, в 95% случаев построенный доверительный интервал будет содержать истинное значение параметра.

Построение доверительного интервала основано на предположении о нормальном распределении выборочного среднего или выборочной пропорции. В большинстве случаев для построения доверительного интервала используется формула, которая включает в себя выборочное среднее (или пропорцию), стандартное отклонение и размер выборки. Эта формула позволяет оценить диапазон значений, в которых с высокой вероятностью содержится истинное среднее значение (или пропорция) популяции.

Например, если у нас есть выборка 100 человек и мы хотим оценить средний возраст людей в популяции, то мы можем построить доверительный интервал с уровнем доверия 95%. Если результат будет, например, 30 ± 2 года, это означает, что с вероятностью 95% средний возраст людей в популяции будет находиться в диапазоне от 28 до 32 лет.

Определение доверительного интервала

Доверительный интервал определяется двумя числами: нижней и верхней границами интервала. Вероятность указывает, насколько часто эти границы будут содержать истинное значение параметра.

Например, если мы хотим оценить среднюю высоту всех мужчин в определенной популяции, мы можем получить выборку и построить доверительный интервал. Допустим, наша выборка составляет 100 мужчин, а средняя высота в выборке составляет 175 см. Мы можем построить 95% доверительный интервал, который будет охватывать 95% вероятности того, что истинная средняя высота мужчин в популяции находится в этом интервале. Если наши границы интервала составляют 170 см и 180 см, то мы можем утверждать с 95% уверенностью, что истинное значение лежит где-то между этими значениями.

Для вычисления доверительного интервала обычно используется формула, которая зависит от типа данных и метода выборки. Размер выборки, уровень доверия и стандартное отклонение также влияют на ширину доверительного интервала. Чем больше выборка, тем более точные и узкие будут границы интервала. Выбор более высокого уровня доверия также приведет к более широкому интервалу.

В приведенной таблице показано, что при выборке из 100 случайных наблюдений и уровне доверия 90%, ширина доверительного интервала составляет 10. При этом, чем выше уровень доверия, тем шире интервал.