Синус, косинус, тангенс, котангенс: объяснение и применение

Синус (от латинского слова «sinus», означающего изгиб или извилина) — это отношение противоположной стороны треугольника к его гипотенузе. Обычно обозначается буквой «sin». Синус угла может принимать значения от -1 до 1, в зависимости от величины угла. Если угол равен 0 градусов, то синус равен 0. При угле в 90 градусов, синус равен 1, а при угле в 180 градусов, синус равен 0.

Косинус (от латинского слова «cosinus», означающего спутанность) — это отношение прилежащей стороны треугольника к его гипотенузе. Обозначается буквой «cos». Как и синус, косинус также может принимать значения от -1 до 1 в зависимости от величины угла. Однако, косинус угла 0 градусов равен 1, угла 90 градусов — 0 и угла 180 градусов — (-1).

Тангенс (от латинского слова «tangens», означающего касание) — это отношение синуса угла к его косинусу. Обозначается буквой «tan». Тангенс может быть представлен как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне треугольника. Тангенс тоже может принимать значения от -∞ до +∞ в зависимости от величины угла. Если значение тангенса равно ∞, то это означает, что угол равен 90 градусов и треугольник является вертикальным.

Котангенс (от латинского слова «cotangens», означающего обратное касание) — это обратное отношение тангенса угла. Обозначается буквой «cot». Котангенс равен единице, когда тангенс равен нулю, и наоборот.

Синус

sin A = противолежащий катет / гипотенуза

Синус изменяется в диапазоне от -1 до 1. Значение синуса может быть положительным или отрицательным в зависимости от угла и его нахождения в определенной четверти плоскости.

Например, если угол A находится в первой четверти, то его синус будет положительным. Если угол A находится во второй четверти, то его синус будет отрицательным. Если угол A равен 0 или 180 градусов, то его синус равен 0.

Синус имеет множество применений, особенно в физике, инженерии и компьютерной графике. Он позволяет решать различные задачи, связанные с расчетом углов, площадей и периметров фигур, а также моделированием различных явлений и процессов.

Определение и примеры

Синус угла определяется как отношение противоположной стороны к гипотенузе: sin(x) = противоположная сторона / гипотенуза.

Косинус угла определяется как отношение прилежащей стороны к гипотенузе: cos(x) = прилежащая сторона / гипотенуза.

Тангенс угла определяется как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне: tan(x) = противоположная сторона / прилежащая сторона.

Котангенс угла определяется как отношение прилежащей стороны к противоположной стороне: cotan(x) = прилежащая сторона / противоположная сторона.

Например, в прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c, значение синуса угла A будет sin(A) = a / c, косинуса угла A будет cos(A) = b / c, тангенса угла A будет tan(A) = a / b, и котангенса угла A будет cotan(A) = b / a.

Косинус

Значение косинуса может изменяться от -1 до 1. Если угол α равен 0°, косинус равен 1. При угле α, равном 90°, косинус равен 0, а при α, равном 180°, косинус равен -1.

Косинус используется, например, для нахождения длины вектора при заданных координатах, а также для решения различных математических задач.

Пример:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a = 3 и c = 5. Нам нужно найти косинус угла α.

Для этого мы используем формулу cos(α) = a / c. Подставляя значения, получим cos(α) = 3 / 5 = 0.6. Таким образом, косинус угла α равен 0.6.

Определение и примеры

Синус (sin) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

• Пример 1: В прямоугольном треугольнике ABC с углом A = 30 градусов и противолежащей стороной AC равной 2, гипотенуза AB равна 4. Тогда sinA = AC/AB = 2/4 = 0.5
• Пример 2: В прямоугольном треугольнике XYZ с углом Y = 45 градусов и гипотенузой XY равной 5, противолежащая сторона YZ равна 5√2. Тогда sinY = YZ/XY = 5√2/5 = √2

Косинус (cos) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

• Пример 1: В прямоугольном треугольнике ABC с углом A = 30 градусов и прилежащей стороной BC равной 3, гипотенуза AB равна 4. Тогда cosA = BC/AB = 3/4 = 0.75
• Пример 2: В прямоугольном треугольнике XYZ с углом Y = 45 градусов и гипотенузой XY равной 5, прилежащая сторона XZ также равна 5. Тогда cosY = XZ/XY = 5/5 = 1

Тангенс (tan) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

• Пример 1: В прямоугольном треугольнике ABC с углом A = 30 градусов и противолежащей стороной AC равной 2, прилежащая сторона BC равна 3. Тогда tanA = AC/BC = 2/3 ≈ 0.67
• Пример 2: В прямоугольном треугольнике XYZ с углом Y = 45 градусов и противолежащей стороной YZ равной 5√2, прилежащая сторона XZ также равна 5. Тогда tanY = YZ/XZ = 5√2/5 = √2

Котангенс (cot) — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

• Пример 1: В прямоугольном треугольнике ABC с углом A = 30 градусов и противолежащей стороной AC равной 2, прилежащая сторона BC равна 3. Тогда cotA = BC/AC = 3/2 ≈ 1.5
• Пример 2: В прямоугольном треугольнике XYZ с углом Y = 45 градусов и противолежащей стороной YZ равной 5√2, прилежащая сторона XZ также равна 5. Тогда cotY = XZ/YZ = 5/5√2 ≈ 0.35

Тангенс и котангенс

Тангенс (tg) угла равен отношению противоположного катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Обозначается так: tg α = a/b, где α — угол, а a и b — длины соответствующих катетов.

Котангенс (ctg) угла равен обратному значению тангенса. Обозначается так: ctg α = b/a. Значения котангенса в некоторых углах приведены в таблице:

Таким образом, тангенс и котангенс являются взаимнообратными функциями. Они часто используются при решении задач на геометрии и тригонометрии, а также в приложениях, связанных с электроникой, физикой и инженерией.