Решение задачи венгерским способом

Основные шаги при решении задачи венгерским способом включают:

1. Формирование матрицы стоимостей. Матрица должна содержать стоимости выполнения задачи для каждого работника и каждой работы. Каждый элемент матрицы представляет собой стоимость выполнения определенной работы определенным работником.

2. Поиск оптимальной комбинации. С помощью метода венгерского способа необходимо определить такую комбинацию работников и работ, чтобы сумма стоимостей была минимальной или максимальной. Для этого используются различные алгоритмы и эвристики.

3. Выполнение задач. После определения оптимальной комбинации назначается каждая работа на определенного работника. Выполнение задач происходит в соответствии с полученными результатами.

Пример решения задачи венгерского метода можно представить в виде следующей матрицы:

При использовании венгерского способа можно определить такую комбинацию работников и работ, при которой сумма стоимостей будет наименьшей или наибольшей.

Основные шаги при решении задачи венгерским способом

1. Построение матрицы издержек или выгод

   Первым шагом является построение матрицы издержек или выгод, в которой каждый элемент представляет собой стоимость или выгоду соответствующего варианта распределения ресурсов. Эта матрица может быть построена на основе различных факторов, таких как время, деньги или качество. При этом необходимо учитывать, что матрица должна быть квадратной.

2. Нахождение начального плана распределения ресурсов

   Далее необходимо найти начальный план распределения ресурсов, который является исходным приближением оптимального решения. Этот план может быть получен с помощью различных методов, например, метода северо-западного угла или метода минимального элемента.

3. Вычисление потенциалов и определение ячеек с нулевыми потенциалами

   После получения начального плана необходимо вычислить потенциалы для каждой строки и столбца матрицы. Потенциалы определяются как разность между минимальным и максимальным значением в каждой строке и столбце соответственно. Затем необходимо найти ячейки с нулевыми потенциалами, которые являются потенциально оптимальными точками в плане распределения.

4. Проверка на оптимальность и определение цикла

   После определения ячеек с нулевыми потенциалами необходимо проверить, является ли текущий план оптимальным. Если план является оптимальным, процесс решения задачи завершается. В противном случае необходимо найти цикл в матрице, проходящий через ячейки с нулевыми потенциалами, используя метод графовой теории.

5. Изменение плана распределения ресурсов

   Последний шаг включает изменение плана распределения ресурсов вдоль найденного цикла. Для этого необходимо увеличить или уменьшить значения ячеек поочередно вдоль пути цикла, чтобы получить новый план.

После выполнения всех этих шагов можно получить оптимальное решение задачи с использованием венгерского способа. Этот метод является эффективным и применяется в различных областях, таких как логистика, производство, экономика и другие.

Формирование матрицы издержек

Для формирования матрицы издержек необходимо:

1. Определить количество задач и исполнителей.
2. Составить матрицу размером N x M, где N — количество задач, M — количество исполнителей.
3. Заполнить матрицу значениями издержек. Каждый элемент матрицы представляет собой стоимость выполнения задачи i исполнителем j.

Например, представим ситуацию, где есть 3 задачи и 3 исполнителя:

Таким образом, мы получаем матрицу издержек, где элементы представляют собой стоимость выполнения каждой задачи исполнителем.

Поиск начального плана

Для поиска начального плана используется метод покрытий. Он заключается в следующих шагах:

1. Выбрать наименьшее значение в каждой строке матрицы и образовать из этих значений первый набор нулей.
2. Если количество нулей в полученном наборе равно количеству строк или столбцов матрицы, то найден начальный план.
3. В противном случае, продолжить следующие шаги.
4. Обратиться к тем строкам и столбцам, которые не покрыты в текущем наборе нулей. Отметить нули, находящиеся в этих строках и столбцах.
5. Если все нули отмечены, перейти к следующему шагу. В противном случае, перейти к шагу 7.
6. Выделить нули альтернативным способом. Для этого провести чередование: провести черту через покрытые и не покрытые нули.
7. Покрыть все строки без нулей и столбцы с нулями альтернативным способом, а затем удалить все черты.
8. Вернуться к шагу 2.

После выполнения данных шагов, будет найден начальный план, который будет использован как отправная точка для итераций метода венгерского алгоритма.

Поиск оптимального плана и определение оптимального решения

Оптимальный план может быть найден с помощью следующих шагов:

1. Найти положительные элементы в каждой строке таблицы. Если в строке есть только один положительный элемент, то этот элемент будет оптимальным, и столбец с этим элементом будет установлен в оптимальное состояние.
2. Если в какой-то строке есть более одного положительного элемента, выбрать один из них. Затем выбрать другой положительный элемент в столбце этого элемента. Продолжить этот процесс, пока не будет достигнута ячейка-ноль или элемент, который уже был выбран ранее. Таким образом, образуется замкнутый цикл. Инвертировать состояние каждого элемента в замкнутом цикле и оставить неизменным состояние каждого элемента вне замкнутого цикла.
3. После инверсии состояний элементов, вернуться к шагу 1 и повторить процесс, пока не будут найдены все оптимальные состояния.

Определение оптимального решения происходит следующим образом:

Для каждого оптимального состояния, умножить его значение на соответствующий элемент исходной таблицы. Затем найти сумму всех произведений, которая будет являться оптимальной стоимостью решения задачи.

Таким образом, следуя шагам поиска оптимального плана и определения оптимального решения, можно достичь нахождения оптимального решения задачи венгерским методом.

Примеры решения задачи венгерским способом

Рассмотрим несколько примеров решения задачи о назначениях с помощью венгерского способа.

Пример 1:

Пусть имеется следующая таблица стоимостей задач:

Для решения задачи венгерским способом, сначала необходимо вычесть из каждой строки таблицы минимальное значение строки. Полученную таблицу можно записать следующим образом:

Затем необходимо вычесть из каждого столбца таблицы минимальное значение столбца. Полученную таблицу можно записать следующим образом:

Далее необходимо найти минимальное количество линий, которые позволят покрыть все нулевые элементы таблицы. В данном случае достаточно двух линий. Затем вычитаем наименьшее ненулевое число из нулевых чисел, пересекающихся с линиями. Получаем следующую таблицу:

Повторяем предыдущие шаги (ищем минимальное количество линий, вычитаем наименьшее ненулевое число из нулевых чисел, пересекающихся с линиями) до тех пор, пока не удастся покрыть все нулевые элементы таблицы. В данном примере получается следующая конечная таблица:

Теперь можно присвоить каждой задаче работника с наименьшей стоимостью и получить оптимальное решение.

Пример 2:

Пусть имеется следующая таблица стоимостей задач:

Применяя аналогичные шаги, как в предыдущем примере, получаем следующую конечную таблицу:

Таким образом, венгерский способ позволяет решать задачи о назначениях эффективно и находить оптимальные решения.