Решение системы уравнений методом алгебраического сложения

Метод алгебраического сложения – один из способов решения систем уравнений. Он основывается на принципе замены переменных. В данном случае вводятся новые переменные (u, v), связанные с исходными переменными (x, y) следующим образом: x = u + v и y = u — v. При такой замене система уравнений сводится к другому виду, что облегчает ее решение.

Применяя метод алгебраического сложения, подставляем новые переменные в исходную систему уравнений и получаем следующее:

u² + 2uv + v² + 3(u² — v²) + 2(u² — v²) = 0

Далее, объединяя подобные слагаемые и приводя подобные, получаем:

6u² + 2v² + 2uv = 0

Данное уравнение является суммой квадратов, а значит, его можно привести к следующему виду:

3(u + v)² — 7v² = 0

И далее решив данное уравнение получаем значения переменных u и v. Подставив эти значения в исходную систему, можно получить значения переменных x и y и тем самым решить систему уравнений х² + 3ху + 2у² = 0 методом алгебраического сложения.

Решение системы уравнений х² + 3ху + 2у² = 0

1. Разложим левую часть уравнения х² + 3ху + 2у² на множители. Для этого найдём два числа, сумма которых равна 3, а произведение равно 2.

2у² + 2у + ух + х² + 2у + х = 0

х² + (у + 3)х + 2у² + 2у = 0

х² + (у + 3)х + 2(у² + у) = 0

2. После разложения уравнения получаем х² + (у + 3)х + 2(у² + у) = 0. Добавим и вычтем одинаковое выражение в угловых скобках, чтобы привести его к виду (х + а)² + b(у + с)² = 0. В итоге получим:

(х + 1,5(у + 1))² — 2,25(у + 1)² = 0

(х + 1,5у + 1,5)² — 2,25у² — 4,5у — 2,25 = 0

3. Уравнение (х + 1,5(у + 1))² — 2,25(у + 1)² = 0 можно представить в виде двух уравнений:

(х + 1,5у + 1,5)² = 2,25у² + 4,5у + 2,25

х + 1,5у + 1,5 = ±√(2,25у² + 4,5у + 2,25)

4. Мы получили два уравнения: х + 1,5у + 1,5 = ±√(2,25у² + 4,5у + 2,25). Решая каждое из них, получим два набора значений x и у, которые являются решениями системы уравнений х² + 3ху + 2у² = 0.

Таким образом, решение системы уравнений х² + 3ху + 2у² = 0 методом алгебраического сложения заключается в разложении уравнения на множители и последующем приведении его к каноническому виду (х + а)² + b(у + с)² = 0.

Метод алгебраического сложения

Суть метода заключается в том, что заданная система уравнений приводится к квадратному уравнению, которое затем решается с помощью формул квадратного уравнения.

Для решения системы уравнений методом алгебраического сложения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Привести систему уравнений к каноническому виду, то есть к виду, при котором все уравнения имеют одинаковый коэффициент при переменной во всех уравнениях.
2. Решить полученное квадратное уравнение с помощью формул квадратного уравнения.
3. Подставить найденные значения переменных в исходную систему уравнений и проверить их.

Метод алгебраического сложения широко используется для решения систем уравнений в различных областях науки и техники.