itciskra.ru
Существует несколько способов нахождения обратной матрицы, и в данной статье мы рассмотрим два из них. Первый способ — через формулу Гаусса-Жордана, а второй — через нахождение алгебраических дополнений. Какой из них выбрать зависит от вашей предпочтительности и удобства в конкретной ситуации.
Первый способ основан на преобразовании исходной матрицы с помощью элементарных операций строк. Мы ищем обратную матрицу путем приведения исходной матрицы к единичному виду. Это достигается путем приведения элементов на главной диагонали к 1 и обнуления остальных элементов в столбцах, где есть ненулевые элементы на диагонали.
Второй способ основан на использовании алгебраических дополнений. Для каждого элемента матрицы мы находим его алгебраическое дополнение, которое определяется как произведение минора элемента на соответствующий знак в зависимости от положения элемента в матрице. Затем мы транспонируем получившуюся матрицу алгебраических дополнений и делим на определитель исходной матрицы.
Способ 1: Метод Гаусса
Шаги метода Гаусса:
Шаг 1: Переставляем строки матрицы так, чтобы главные элементы (элементы на главной диагонали) были ненулевыми.
Шаг 2: Применяем элементарные преобразования к строкам матрицы так, чтобы каждый главный элемент стал равным 1. Для этого делим каждую строку на соответствующий главный элемент.
Шаг 3: Применяем элементарные преобразования к строкам матрицы, чтобы в столбце, содержащем главный элемент i-й строки, все остальные элементы стали равными нулю. Для этого вычитаем из каждой строки i-й строки, умноженной на соответствующий элемент ступенчатого вида i-й строки.
Шаг 4: Полученная матрица ступенчатого вида является верхнетреугольной матрицей. Определяем главные элементы матрицы и применяем элементарные преобразования, чтобы каждый главный элемент стал равным 1.
Шаг 5: Применяем элементарные преобразования к строкам матрицы, чтобы все элементы ниже главной диагонали стали равными нулю.
Шаг 6: Получаем обратную матрицу путем применения тех же элементарных преобразований к единичной матрице.
Таким образом, применение метода Гаусса позволяет эффективно находить обратную матрицу, применяя только элементарные преобразования. Он является одним из основных инструментов в линейной алгебре и находит широкое применение в различных областях науки и техники.
Способ 2: Метод алгебраических дополнений
Далее необходимо транспонировать полученную матрицу, меняя местами строки и столбцы. После этого необходимо найти обратный определитель, который равен обратному числу определителю исходной матрицы. Для этого можно использовать формулу: обратный определитель = 1 / определитель.
В конечном итоге, чтобы найти обратную матрицу, необходимо умножить полученную транспонированную матрицу алгебраических дополнений на обратный определитель.
Пример вычисления обратной матрицы методом Гаусса
Для начала необходимо иметь квадратную матрицу A, для которой мы хотим найти обратную матрицу. Сначала мы создаем расширенную матрицу, добавляя к A единичную матрицу E справа.
Пример:
Пусть дана матрица A:
| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |
Создаем расширенную матрицу [A|E]:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 4 5 6 | 0 1 0 || 7 8 9 | 0 0 1 |
Затем применяем элементарные преобразования, чтобы привести левую часть матрицы к единичной форме. В процессе преобразований правая часть матрицы будет являться обратной к A.
Шаг 1:
Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 4:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 0 -3 -6 |-4 1 0 || 7 8 9 | 0 0 1 |
Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 7:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 0 -3 -6 |-4 1 0 || 0 -6 -12 |-7 0 1 |
Шаг 2:
Делим вторую строку на -3:
| 1 2 3 | 1 0 0 || 0 1 2 | 4 -1 0 || 0 -6 -12 | -7 0 1 |
Вычитаем из первой строки вторую, умноженную на 2:
| 1 0 -1 | -7 2 0 || 0 1 2 | 4 -1 0 || 0 -6 -12 | -7 0 1 |
Шаг 3:
Вычитаем из третьей строки вторую, умноженную на -6:
| 1 0 -1 | -7 2 0 || 0 1 2 | 4 -1 0 || 0 0 0 | 17 6 1 |
Теперь в левой части матрицы получили единичную матрицу. Правая часть матрицы соответствует обратной матрице A:
| -7 2 0 || 4 -1 0 || 17 6 1 |
Таким образом, обратная матрица для исходной матрицы A равна:
| -7/17 2/17 0 || 4/17 -1/17 0 || 17/17 6/17 1 |
Пример вычисления обратной матрицы методом алгебраических дополнений
Предположим, у нас есть квадратная матрица A размером n x n, и мы хотим найти ее обратную матрицу. Обратная матрица обозначается как A^(-1).
Шаги по вычислению обратной матрицы методом алгебраических дополнений:
- Найдем определитель матрицы A, обозначаемый как det(A).
- Для каждого элемента a(ij) матрицы A найдем алгебраическое дополнение A(ij).
- Транспонируем матрицу алгебраических дополнений (A(ij))^T.
- Вычислим обратную матрицу A^(-1) как произведение транспонированной матрицы алгебраических дополнений (A(ij))^T на 1/det(A): A^(-1) = (A(ij))^T / det(A).
Пример:
Пусть у нас есть матрица A:
A = [[1, 2], [3, 4]]
1. Найдем определитель матрицы A:
det(A) = 1 * 4 — 2 * 3 = -2
2. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы A:
A(11) = (-1)^(1+1) * det([[4]]) = 4
A(12) = (-1)^(1+2) * det([[3]]) = -3
A(21) = (-1)^(2+1) * det([[2]]) = -2
A(22) = (-1)^(2+2) * det([[1]]) = 1
Таким образом, получаем матрицу алгебраических дополнений:
A* = [[4, -3], [-2, 1]]
3. Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:
(A*)^T = [[4, -2], [-3, 1]]
4. Найдем обратную матрицу A^(-1) по формуле A^(-1) = (A*)^T / det(A):
A^(-1) = [[4, -2], [-3, 1]] / -2 = [[-2, 1], [1.5, -0.5]]
Таким образом, обратная матрица матрицы A равна:
A^(-1) = [[-2, 1], [1.5, -0.5]]
Это и есть ответ.