Как вывести формулу Муавра

Что такое формула Муавра?

Формула Муавра позволяет вычислять степени комплексных чисел в экспоненциальной форме. Она основывается на основной тригонометрической форме комплексного числа, которая представляет его в виде суммы модуля и аргумента.

• Формула Муавра имеет следующий вид:
• • Для комплексного числа z = r(cosθ + isinθ) и натурального числа n:
  • z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
• Где:
• • z — комплексное число
  • r — модуль комплексного числа (расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости)
  • θ — аргумент комплексного числа (угол между положительным направлением оси x и вектором, соединяющим начало координат и точку на комплексной плоскости)

Формула Муавра является мощным инструментом, который можно использовать для упрощения вычислений с комплексными числами, особенно при возведении их в большие степени. Она находит применение в различных областях науки и техники, таких как электротехника, физика, теория управления и др.

В каких случаях используется формула Муавра?

Когда в задачах возникает необходимость возвести комплексное число в степень, формула Муавра предоставляет удобный способ решения. Она позволяет представить комплексное число в тригонометрической форме и использовать тригонометрические функции для вычисления степени.

Формула Муавра также широко применяется при нахождении корней из комплексных чисел. При использовании формулы Муавра можно легко находить все корни заданной степени из комплексного числа, что может быть полезно при решении уравнений и поиске решений в различных областях науки.

Таким образом, формула Муавра является мощным инструментом, который находит применение во многих научных дисциплинах и позволяет упростить и повысить точность вычислений с комплексными числами.

Шаг 2: Приведите комплексное число к показательной форме, используя формулу Эйлера: r(cos θ + i*sin θ), где r — модуль комплексного числа, а θ — его аргумент или угол.

Шаг 3: Выведите формулу Муавра, заменив показательную форму на ее эквивалент в тригонометрической форме: r(cos θ + i*sin θ).

Шаг 4: Раскройте скобки в формуле Муавра и упростите выражение. Выразите действительную и мнимую части суммы в терминах синусов и косинусов. Например, если в формуле Муавра дано выражение (a + bi)^n, тогда рассмотрите каждое слагаемое вида a^m * b^(n-m), где m — целое число от 0 до n. Упростите каждое слагаемое, используя тригонометрические формулы (например, cos(a+b)=cos a * cos b — sin a * sin b).

Шаг 5: Получите конечный результат, выраженный в тригонометрической форме.

Например, для комплексного числа 2 + 2i в алгебраической форме:

a = 2, b = 2

Приведем его к показательной форме, используя формулу Эйлера:

r = √(a^2 + b^2) = 2√2

θ = arctan(b/a) = arctan(2/2) = π/4

Теперь, зная значения r и θ, можем вывести формулу Муавра:

(2 + 2i)^n = (2√2)(cos(π/4) + i*sin(π/4))^n

Примеры использования формулы Муавра

Пример 1:

Рассмотрим выражение (1 + i) в степени 5. Мы можем использовать формулу Муавра для вычисления этого выражения. Первым шагом найдем модуль и аргумент числа (1 + i). Модуль равен квадратному корню из суммы квадратов вещественной и мнимой частей, то есть √(1^2 + 1^2) = √2. Аргумент можно найти с помощью функции atan2 из математической библиотеки, например, arctan(1/1) = π/4. Теперь применим формулу Муавра: (r * (cos(θ) + i * sin(θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ)). В нашем случае получаем (√2^5) * (cos(5 * π/4) + i * sin(5 * π/4)) = 4√2 * (-1/√2 + i/√2) = -4 + 4i.

Пример 2:

Допустим, нам нужно найти 6-й корень из числа √3/2 + i/2. Снова используем формулу Муавра. Найдем модуль числа, который равен квадратному корню из суммы квадратов вещественной и мнимой частей: √((√3/2)^2 + (1/2)^2) = √((3/4) + (1/4)) = √1 = 1. Аргумент числа можно найти с помощью функции atan2: arctan((1/2)/(√3/2)) = π/6. Применяем формулу Муавра: (r * (cos(θ) + i * sin(θ)))^(1/n) = r^(1/n) * (cos(θ/n) + i * sin(θ/n)). Получаем 1^(1/6) * (cos(π/6) + i * sin(π/6)) = cos(π/36) + i * sin(π/36).

Пример 3:

Рассмотрим выражение (2 — 3i) в степени 4. Найдем модуль числа: √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13. Аргумент можно найти с помощью функции atan2: arctan(-3/2) = -1.1071 рад. Применяем формулу Муавра: (r * (cos(θ) + i * sin(θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ)). Получаем (√13^4) * (cos(4 * -1.1071) + i * sin(4 * -1.1071)) = 13^2 * (cos(-4.4285) + i * sin(-4.4285)) ≈ 14.305 — 20.321i.

Расчёт тригонометрических функций с помощью формулы Муавра

Формула Муавра имеет следующий вид:

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ)

Здесь:

• φ – аргумент комплексного числа;
• n – показатель степени;
• i – мнимая единица (i² = -1).

Для расчёта тригонометрических функций с помощью формулы Муавра необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти значение аргумента числа (φ) и показатель степени (n) для требуемой функции.
2. Вычислить значение выражения nφ.
3. Полученное значение разделить на 180 и умножить на π, чтобы перейти из градусов в радианы.
4. Вычислить значение косинуса и синуса полученного угла по таблицам или с использованием калькулятора.
5. Заменить косинус и синус полученного угла в формуле Муавра для получения окончательного результата.

Например, для вычисления значения тригонометрической функции sin(2φ), где φ = 45°:

1. У нас дано значение φ, равное 45°, и требуется найти значение sin(2φ).
2. Так как мы хотим вычислить значение sin(2φ), показатель степени n равен 2.
3. Вычисляем значение выражения nφ: 2 * 45° = 90°.
4. Переводим 90° в радианы: 90° * π/180 = π/2.
5. Находим sin(π/2) по таблице или с помощью калькулятора – результат равен 1.
6. Подставляем найденное значение в формулу Муавра: sin(2φ) = sin(π/2) = 1.

Таким образом, sin(2φ) при φ = 45° равно 1.

1. Выразили комплексное число в тригонометрической форме.
2. Записали формулу Муавра в общем виде.
3. Подставили значения из шага 1 в формулу Муавра.
4. Выполнили необходимые вычисления, используя свойства тригонометрических функций.
5. Получили результат в комплексной форме.

Проиллюстрируем данный процесс на примере:

Дано комплексное число z = 3 + 4i.

Шаг 1: Выведем комплексное число в тригонометрической форме.

Таким образом, комплексное число z = 3 + 4i в тригонометрической форме равно z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°).

Шаги 2-5: Запишем и решим формулу Муавра.

Таким образом, результатом вычисления формулы Муавра для числа z³ при z = 3 + 4i является комплексное число z³ ≈ 125(-0.766 + 0.643i).

Используя данную пошаговую инструкцию, вы можете легко вывести формулу Муавра для различных комплексных чисел и степеней.