itciskra.ru
Для составления уравнения касательной к графику функции в точке x₁ нам понадобятся знания дифференциального исчисления. Дифференциал функции в данной точке используется для приближенного описания поведения функции вблизи данной точки. Коэффициент наклона касательной равен значению первой производной функции в данной точке.
Уравнение касательной к графику функции в точке x₁ можно записать в виде: y = f'(x₁)(x — x₁) + f(x₁), где f'(x₁) обозначает значение первой производной функции в точке x₁, (x — x₁) представляет разность между аргументом точки x и аргументом точки x₁, и f(x₁) представляет значение функции в данной точке.
Примером может служить функция y = x². Чтобы составить уравнение касательной к этой функции в конкретной точке, например, x = 2, необходимо сначала найти значение первой производной, которая в данном случае равна 2x. В точке x = 2 значение первой производной будет равно 4. Если рассчитать значение функции в данной точке, то получим f(2) = 4. Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид y = 4(x — 2) + 4.
Определение точки касания
| Шаги для определения точки касания |
|---|
| 1. Найдите производную функции. |
| 2. Решите уравнение производной для получения координаты х точки касания. |
| 3. Подставьте найденное значение х в исходную функцию, чтобы найти у-координату точки касания. |
| 4. Проверьте, что найденная точка удовлетворяет условию касания: наклон касательной и графика функции должен быть одинаковым. |
Процесс определения точки касания может быть сложным для некоторых функций, поэтому важно учитывать возможные ошибки и потренироваться с использованием различных методов для нахождения точек касания на графике функции.
Нахождение углового коэффициента
- Найти производную функции в заданной точке.
- Подставить значение аргумента в найденную производную и вычислить результат.
- Полученное число является угловым коэффициентом прямой, представляющей касательную.
Угловой коэффициент позволяет определить, насколько быстро меняется значение функции при изменении аргумента в заданной точке. Если угловой коэффициент положительный, то функция возрастает в данной точке, а если отрицательный — функция убывает. Коэффициент равный 0 указывает на горизонтальную прямую.
Зная точку, в которой мы ищем касательную, и угловой коэффициент, мы можем составить уравнение касательной в виде: y = kx + b, где y и x — координаты точек на прямой, k — угловой коэффициент и b — значение функции в заданной точке.
Составление уравнения
Для составления уравнения касательной к графику функции в точке x1 необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Вычислить значение производной в точке x1.
- Используя найденное значение производной и координаты точки x1, составить уравнение касательной.
Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке графика. Значение производной в точке x1 определяет угловой коэффициент касательной в этой точке.
Уравнение касательной можно записать в виде y — y1 = k(x — x1), где y и x — переменные, координаты любой точки на касательной, y1 и x1 — координаты точки, к которой требуется найти касательную, а k — угловой коэффициент касательной.
Подставив найденные значения координат и угловой коэффициент, можно получить окончательное уравнение касательной.
Проверка полученного уравнения
После составления уравнения касательной к графику функции в точке х₁, необходимо проверить его правильность. Для этого можно использовать несколько методов.
Во-первых, можно провести график функции и нарисовать на нем найденную касательную. Если значение функции и угловой коэффициент касательной в точке х₁ совпадают с теми, которые были получены при решении уравнения, то результат верен.
Во-вторых, можно подставить значение х₁ в составленное уравнение и проверить, что получится верное равенство. Если левая и правая части уравнения равны при x = х₁, то уравнение касательной верно.
Также можно провести проверку, используя определение касательной. Пусть функция задана уравнением y = f(x), а уравнение касательной имеет вид y — y₁ = f'(x₁)(x — x₁). Подставим точку (x₁, y₁) в это уравнение и убедимся, что оно справедливо для этой точки.
Необходимо помнить, что проверку нужно проводить для всех полученных уравнений касательных, так как при составлении могут возникать ошибки или упускаться важные детали.