itciskra.ru
Для начала рассмотрим четность степенной функции, представленной в форме y = x^n, где n — четное число. Заметим, что при замене x на его противоположное значение (-x) в данном выражении, получаем y = (-x)^n. Используя свойства степеней, можно получить y = x^n, так как (-1)^n = 1 при четных значениях n.
Теперь перейдем к рассмотрению функции y = x^10. Как мы предположили ранее, чтобы доказать ее четность, необходимо доказать равенство y = f(x) и y = f(-x). Для этого заменим x на его противоположное значение (-x) в исходном выражении:
y = (-x)^10
Используя свойства степеней и знания того, что (-1)^10 = 1, получим:
y = x^10
Таким образом, мы доказали, что функция y = x^10 является четной. Она симметрична относительно оси ординат и имеет одинаковые значения при замене x на его противоположное значение. Это свойство может быть полезно при анализе и построении графиков данной функции.
Четность функции y = x^10
Для доказательства четности функции y = x^10 можно воспользоваться следующими свойствами:
- Чётная функция остаётся неизменной при замене x на -x.
- Функция x^n, где n — четное число, всегда является чётной функцией.
Исходя из свойств, можно заметить, что функция y = x^10 является функцией с четным показателем степени. Таким образом, она будет симметрична относительно оси ординат и, следовательно, является чётной функцией.
Важно отметить, что четность функции может быть доказана иными способами, например, с помощью анализа симметрии графика функции или с использованием правила об операциях над четными функциями.
Симметрия степени
Эта симметрия проявляется в том, что для каждого положительного значения x, функция принимает такое же значение y, как и его отрицательное значение -x. Например, при x = 2, значение y равно 2^10 = 1024, и при x = -2, значение y также равно 2^10 = 1024.
Другими словами, график функции y = x^10 выглядит симметричным относительно оси ординат. Это означает, что если мы отразим левую половину графика относительно оси ординат, мы получим правую половину графика, и наоборот.
Эта симметрия является результатом четности показателя степени функции. Так как 10 — четное число, то каждая цифра в степени влияет на четность исходной функции. Если бы показатель степени был нечетным, функция не была бы четной.
Костяк парной функции
Для доказательства четности функции y = x^10 необходимо и достаточно проверить, что функция обладает свойством парности, то есть f(x) = f(-x) для любого значения x.
Разложим функцию y = x^10 на множители:
y = (x^5)^2
Из этого разложения видно, что функция представляет собой квадрат значения функции y1 = x^5:
y = (y1)^2
Поскольку квадрат любого числа является неотрицательным, функция y = x^10 всегда положительна или равна нулю.
Чтобы доказать парность функции, рассмотрим f(-x):
f(-x) = (-x)^10 = x^10
Таким образом, f(x) = f(-x) для любого значения x.
Из этого следует, что функция y = x^10 является четной, то есть симметричной относительно оси ординат.