Уравнение с нулевым дискриминантом: примеры и решения

Уравнения, у которых дискриминант равен нулю, имеют один корень. Это означает, что график такого уравнения представляет собой параллельную прямую, которая касается оси x в одной точке. Эта точка называется вершиной и является единственным решением уравнения. В таких случаях уравнение имеет форму (x — p)² = 0, где p — координата вершины. При раскрытии скобок получим уравнение x² — 2px + p² = 0, которое можно записать в общем виде ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = -2p, c = p².

Примеры уравнений с дискриминантом равным нулю могут быть записаны следующим образом: x² = 16, 3x² — 6x + 3 = 0, (x — 5)² = 0. Во всех этих случаях, квадратный корень от дискриминанта равен нулю, что означает, что уравнение имеет один корень и является уравнением с дискриминантом равным нулю.

Уравнения с нулевым дискриминантом: что это такое и почему они важны?

Одиночный корень уравнения с нулевым дискриминантом имеет свою особенность. Он называется кратным корнем и имеет кратность, равную степени его кратности. Например, если уравнение имеет одиночный корень x = a, то оно имеет кратность два и может быть записано в виде (x — a)^2 = 0.

Уравнения с нулевым дискриминантом важны для решения различных задач в математике и физике. Они позволяют найти точные значения корней уравнения и определить особенности задачи. Кроме того, они широко применяются в промышленности и технике при моделировании и оптимизации систем.

Понимание уравнений с нулевым дискриминантом является фундаментальным для изучения более сложных математических концепций, таких как квадратные уравнения, уравнения с комплексными корнями и теорема Виета. Поэтому важно уделить достаточно внимания этой теме и хорошо овладеть базовыми навыками решения уравнений с нулевым дискриминантом.

Примеры уравнений с нулевым дискриминантом

Вот несколько примеров уравнений с нулевым дискриминантом:

Пример 1:

Уравнение: x^2 + 4x + 4 = 0

Дискриминант: D = (4)^2 — 4 * 1 * 4 = 0

Корни: x = -2 (кратный корень)

Пример 2:

Уравнение: 3x^2 + 6x + 3 = 0

Дискриминант: D = (6)^2 — 4 * 3 * 3 = 0

Корни: x = -1 (кратный корень)

Пример 3:

Уравнение: 2x^2 — 4x + 2 = 0

Дискриминант: D = (-4)^2 — 4 * 2 * 2 = 0

Корни: x = 1 (кратный корень)

Все приведенные выше примеры демонстрируют, что при дискриминанте, равном 0, уравнение имеет один корень — кратный корень. Это значит, что графическое представление уравнения будет представлять собой параллельную прямую, касающуюся оси Х в одной точке.

Первый пример: квадратное уравнение

D = b² — 4ac

Если дискриминант равен 0, то у нас есть один корень уравнения. Это означает, что график квадратного уравнения пересекает ось абсцисс только в одной точке.

Давайте рассмотрим пример: у нас есть квадратное уравнение x² — 4x + 4 = 0. Для начала найдем дискриминант:

D = (-4)² — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0

Так как дискриминант равен 0, это означает, что у нас есть один корень. Подставим значение дискриминанта в формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-(-4) ± √0) / (2 * 1)

x = (4 ± 0) / 2

x = 4 / 2

x = 2

Таким образом, решением данного квадратного уравнения является один корень: x = 2.

Второй пример: линейное уравнение

ax + b = 0

Где a и b — коэффициенты уравнения, а x — неизвестная переменная.

Если дискриминант линейного уравнения равен 0, то это означает, что уравнение имеет только один корень.

Для примера, рассмотрим уравнение:

2x + 4 = 0

Чтобы найти корень уравнения, нужно выразить x через коэффициенты:

2x = -4

x = -2

Таким образом, это линейное уравнение имеет единственный корень x = -2.

В случае линейного уравнения, где дискриминант равен 0, решение может быть найдено аналитически без необходимости использования квадратного корня или дополнительных шагов решения.

Как определить, что уравнение имеет нулевой дискриминант?

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. Если полученное значение дискриминанта равно нулю (D = 0), то уравнение имеет нулевой дискриминант.

Нулевой дискриминант означает, что уравнение имеет один корень (два совпадающих корня). Геометрически это представляет собой параболу, которая касается оси x только в одной точке.

Если же значение дискриминанта отлично от нуля (D ≠ 0), то уравнение имеет два различных корня. Геометрически, это означает две точки пересечения параболы с осью x.

Как только мы убедились, что уравнение имеет нулевой дискриминант, мы можем приступить к решению уравнения. Одинаковые корни (x1 = x2) могут быть найдены по формуле: x = -b/2a. Здесь a, b и c — коэффициенты уравнения.

Итак, определение нулевого дискриминанта является важным шагом при решении квадратных уравнений. Определить его можно, вычислив значение дискриминанта по формуле и сравнив его с нулем. Это позволяет нам понять, сколько корней имеет уравнение и какие значения они имеют.

Зачем знать уравнения с нулевым дискриминантом?

Знание уравнений с нулевым дискриминантом может быть полезно в следующих ситуациях:

1. Нахождение точек пересечения с осями координат: Если уравнение имеет нулевой дискриминант, то его график будет пересекать ось абсциссы (ось OX) только в одной точке. Это также означает, что уравнение не будет иметь точек пересечения с осью ординаты (ось OY).
2. Определение кратных корней: Уравнения с нулевым дискриминантом имеют кратные корни. Кратные корни — это корни, которые повторяются и имеют множитель больше единицы. Знание о наличии кратных корней может помочь в более точном графическом представлении функции или при решении задачи.
3. Анализ изменений знака функции: Знание о наличии уравнения с нулевым дискриминантом может помочь в определении изменения знака функции. Если уравнение имеет только один корень, то функция будет менять знак только в этой точке.
4. Упрощение и редукция уравнений: Знание о наличии уравнений с нулевым дискриминантом может помочь в упрощении и редукции более сложных уравнений. Если можно установить, что в уравнении дискриминант равен нулю, то его можно заменить на более простое уравнение с одним корнем.

В целом, уравнения с нулевым дискриминантом представляют особый интерес и используются в различных областях математики и науки, будь то алгебра, геометрия, физика или программирование. Понимание особенностей этих уравнений поможет в более точном решении задач и позволит получить более полное представление о графиках и функциях.

Объяснение на практике: решение уравнений с нулевым дискриминантом

Рассмотрим пример такого уравнения: x^2 — 6x + 9 = 0. В данном случае, коэффициенты уравнения a = 1, b = -6 и c = 9.

Таким образом, уравнение x^2 — 6x + 9 = 0 имеет одно решение x = 3. Проверка показывает, что данное значение является верным, так как подставление его в исходное уравнение дает нам 0.

Решение уравнений с нулевым дискриминантом часто встречается на практике. Например, оно может быть использовано для нахождения вершины параболы или для определения времени падения тела, брошенного вертикально вверх. Понимание этого концепта позволит нам более точно анализировать и решать различные задачи.